Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) .
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
(1)Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)
d = 5 unidades
Demostración
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.
La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =
esta dada por:
La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =
esta dada por:
(1)
En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta 
 |
Figura 1
Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el puntoR, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:
Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el puntoR, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:
Pero:
; 
y 
Luego,
En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.
El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y P2 no afecta el valor de la distancia.
OLGA LILIA SANCHEZ CANO
EJERCICIOS
Distancia entre dos
puntos:
FORMULA:
Ejemplo1
Calcular la distancia
entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2).
Ejercicios
Determinar
a con la condición de que los puntos A(0, a) y B(1, 2) disten una unidad.
Probar
que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de
centro (1, 2).
Si
O es el centro de la circunferencia las distancias de O a A, B, C y D
deben ser iguales
Clasificar
el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).
Si:
EjERCICIO:
Calcula
la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4,
1)
d = 5 unidades
Demostración
Sean
P1 (x1, y1) y P2 (x2,
y2) dos puntos en el plano.
La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = |P1P2| esta dada por:
La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = |P1P2| esta dada por:
(1)
En
la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1,
y1) y P2 (x2, y2) así
como también el segmento de recta P1P2
Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x
(abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas),
éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2
y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:
En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.
El
orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1
y P2 no afecta el valor de la distancia.
EJERCICIO:
Ejemplo
Distancia de un punto a una recta
Ejemplo
EJERCICIOS:
Distancia entre un punto y una recta
La distancia de un punto,
P, a una recta,
r, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos de la
recta.
Esta
distancia corresponde a la perpendicular
trazada desde el punto hasta la recta.
Ejemplos
1. Hallar la distancia
desde el punto
P(1, 3, −2) a la recta
2. Hallar la distancia
desde el punto
P(1, 2, 3) a la recta
Distancia entre rectas paralelas
La distancia de una recta,
r, a otra paralela,
s, es la distancia desde un punto cualquiera de r a s.
Distancia entre rectas que se cruzan
La distancia entre dos sectas que se cruzan se
mide sobre la perpendicular común.
Sean(A,u) y(B,v) las
determinaciones lineales de las rectas r y s.
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