Para comenzar con este tema y comprender lo que significa Ecuación de la Recta
es imprescindible comprender lo referido a Geometría analítica y Plano cartesiano.
La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como lo son también el punto y el plano).
La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como lo son también el punto y el plano).
La recta se puede entender como un
conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un
plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la
izquierda o a la derecha).
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos
que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas
para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión
algebraica: una función que determine a la misma recta.
El nombre que recibe la expresión algebraica: función que
determina a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta. (Para comprender este proceder es como
si la misma línea solo se cambia de ropa para que la vean o sepan de su
existencia). Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta
es la representación gráfica de una expresión algebraica, función o Ecuación lineal de primer
grado.
La ecuación de la recta varía en su formulació de acuerdo con los datos que se
conozcan de dicha línea recta, los cuales se desean representar
algebraicamente, ya que hay varias formas de representar la ecuación de la
recta.
1.- Ecuación general de la recta.
Esta es una de las formas
de representar la ecuación de la recta; de acuerdo a uno de los postulados de
la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario
conocer dos puntos (A y B) de un plano en el plano cartesiano, con abscisas
(x) y ordenadas (y).
Recuerden que es
imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano Cartesiano, pues la Ecuación
de la Recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano. Ahora bien,
conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan
incluidas en la siguiente ecuación:
Ax + By +
C = 0
Que también puede
escribirse como:
ax + by +
c = 0
Teorema
La ecuación general
de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números
reales;
y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.
2.– Ecuación
principal de la recta
Esta es otra de las
formas de representar la ecuación de la recta.
Pero antes de entrar
en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:
Cada punto (x, y)
que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas,
siendo x el valor de la abscisa ey el valor de la ordenada.
(x, y) = (Abscisa ,
Ordenada)
Ejemplo: El punto (–3,
5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.
Si un par de valores (x,
y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.
Ejemplo: El punto (7,
2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface
la ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda
2 = 7 – 5 lo que resulta
verdadero.
Recordado lo anterior,
veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y
cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la
fórmula
y = mx + n
que considera las
siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el
punto de intercepción en la ordenada (n), y es conocida como ecuación
principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como
veremos luego).
Al representar la
ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas
variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la
recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una
recta: la pendiente y elpunto de intercepción (también llamado intercepto)
en el eje de las ordenadas (y).
Respecto a esto, en
el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y
permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o
abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala
el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y).
Forma simplificada de
la ecuación de la recta
Si se conoce la
pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0,
b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos
deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma
y− y1 =
m(x − x1)
y– b = m(x – 0)
y– b = mx
y = mx + b
Esta es una segunda
forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma
explícita de la ecuación) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la
ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que
corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal).
También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada
al origen a partir de una ecuación dada.
Ejemplo: La ecuación y
= 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que
interceptará al eje y en el punto (0, 7).
Conocida la fórmula
de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran llamarla) de
la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos
den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto
o puede ser el intercepto.
Esto significa que si
te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx +
b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx +
b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo
tanto, la bcorresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada
y).
Ejemplo 1:
Hallar la ecuación de
la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.
Tenemos que hallar la
ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usamos la información
que tenemos:
m = 3 y b = 10 y
sustituimos en la ecuación
y = 3x + 10.
La ecuación que se
pide es y = 3x + 10.
Nótese que esta forma
principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una
ecuación general:
y – 3x – 10 = 0, la cual
amplificamos por –1, quedando como
– y + 3x + 10 = 0, que luego
ordenamos, para quedar
3x – y + 10 = 0
Ejemplo 2
Hallar la ecuación de
la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5.
Tenemos que hallar la
ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usamos a información:
m = – 5 y sustituimos en la ecuación:
y = – 5x + b
Ahora tenemos que
buscar la b; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2),
por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se
sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos
buscando: 2 = – 5 (1) + b
Despejamos la
variable b en:
2 = – 5 (1) + b
2 = – 5 + b
2 + 5 = b
b = 7
Sustituimos el valor
de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7
La ecuación en su
forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7.
La cual también
podemos expresar en su forma general:
y = – 5x + 7
y + 5x – 7 = 0
la cual ordenamos y
queda
5x + y – 7 = 0
Pendiente de una
Recta
Con respecto a la
pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:
Las rectas paralelas
tienen la misma pendiente.
Si una recta tiene
pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene
pendiente m = – 3.
Las rectas
perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.
Si una recta tiene
pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente
5.
Además:
Si m = 0 la
recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es
perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen.
Determinar la
pendiente
Aprendido lo anterior
es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una
pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Si nos dicen, por
ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto
(1, 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación
principal y nos quedaría:
3 = 2 · 1 + n,
y despejando n,
queda n = 1.
Por lo tanto, la
ecuación de esa recta será:
y = 2x + 1.
Si nos dicen que la
recta pasa por el punto (1, 3) y (2, 5), sólo tenemos que
sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos ecuaciones
con dos incógnitas:
3 = m · 1 + n,
5 = m · 2 + n.
Ahora, observemos el
gráfico de la derecha: Cuando se tienen dos puntos de una recta P1
(x1, y1) y P2 (x2, y2),
la pendiente, que es siempre constante, queda determinada por el
cuociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la
diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula
Entonces, a partir de
esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la
recta, con la fórmula:
y– y1 =
m(x – x1)
Esta forma de obtener
la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las
coordenadas de uno solo de sus puntos.
Entonces, la ecuación
de la recta que pasa por el punto P1 = (x1, y1)
y tiene la pendiente dada m, se establece de la siguiente manera:
y– y1 =
m(x – x1)
Ejemplo
Hallar la ecuación de
la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de – 1/3
Al sustituir los
datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
y – y1 =
m(x – x1)
y – (–4) = – 1/3(x –
2)
3(y + 4) = –1(x – 2)
3y + 12 = –x + 2
3y +12 + x – 2 = 0
3y + x + 10 = 0
x + 3y + 10 = 0
Volviendo a la
ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0), en ella la pendiente (m)
y el coeficiente de posición (n) quedan determinados por:
Ejemplo: ¿Cuál es la
pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0?
Ecuación de la recta
que pasa por dos puntos
Sean P(x1,
y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una
recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible
determinar su ecuación.
Para ello tomemos un
tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta.
Como P, Q y R
pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma
pendiente. O sea
Luego, la ecuación de
la recta que pasa por dos puntos es:
que también se puede
expresar como
Ejemplo 1:
Determina la ecuación
general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)
y – 2 = x – 1
y – x + 1 = 0
Ejemplo 2:
Determina la ecuación
general de la recta que pasa por los puntos P1(4, 3) y P2(–3,
–2)
Sabemos que la
ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
Reemplazamos los
valores:
–2 – 3 = y – 3
–3 – 4 x – 4
–5 = y– 3
–7 x – 4
y – 3 = x – 4 (–5
/–7)
y – 3 = –5 x + 20
–7
–7 (y – 3) = –5 x +
20
–7y +21 + 5x – 20 = 0
5x – 7y + 1 = 0
Que se corresponde
con una ecuación de la forma general
Ax + By + C = 0
Donde
A = 5
B = 7
C = 1
Ecuación de la recta
dados punto–pendiente (se conoce un punto y se conoce la pendiente)
Por lo ya visto, y
por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuación de la recta que pasa por
dos puntos está determinada por
Luego, si
reemplazamos en la ecuación anterior obtenemos
despejando, llegamos
a:
y – y1 =
m(x – x1)
Ejemplo:
Determina la ecuación
general de la recta de pendiente –4 y que pasa por el punto (5, –3)
y – y1 =
m(x – x1)
y – (–3) = –4(x – 5)
y + 4 = –4x + 20
Luego la ecuación
pedida es 4x + y –16 = 0.
Ejercicios para
obtener la ecuación general de la recta dados un punto y la pendiente
Recuerde que la
fórmula inicial es y– y1 = m(x – x1)
1. m = –1; punto (–2,
3)
y – 3 = –1(x + 2)
y – 3 = –x – 2
x + y – 1 = 0
2. m = 2; punto
(–3/2, –1)
y + 1 = 2(x + 3/2)
y + 1 = 2x + 3
– 2x + y – 2 = 0
2x – y + 2 = 0
3. m = 0; punto (–3,
0)
y – 0 = 0(x + 3)
y = 0
4. m= –4; punto (2/3,
–2)
y + 2 = –4(x – 2/3)
y + 2 = –4x + 8/3
y +2 – 4x –8/3 = 0
y – 2/3 – 4x = 0
4x – y + 2/3 = 0
5. m = –2/5; punto
(1,4)
y – 4 = 1(x – 1)
y – 4 = x – 1
y – 4 – x + 1 = 0
y – 3 – x = 0
x – y + 3 = 0
6. m = 3/4; punto
(2,5, –3)
y + 3 = ¾(x – 2,5)
y + 3 = 3/4x – 15/8
y + 3 – 3/4x +15/8 =
0
y + 39/8 – 3/4x = 0
3/4x – y – 39/8 = 0
7. m = ind; punto
(0,5)
y – 5 = (x – 5)
y – 5 – x + 5 = 0
y – x = 0
x – y = 0
8. m = 0; punto (–4,
1/2)
y – ½ = (x + 4)
y – ½ – x – 4 = 0
y – 9/2 – x = 0
x – y + 9/2 = 0
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